teoremas de pitagoras

TEOREMA DE PITÁGORAS

 

	En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

 

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORA

S

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.  Elementos de Euclides. Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

BHÂSKARA

http://www.slideshare.net/blankmar/teorema-de-pitgoras-157633   poer point   http://www.slideshare.net/blankmar/teorema-de-pitgoras-157633   http://www.slideshare.net     power point   http://www.slideshare.net   conclusión es necesario identificar cada caso que se teda ver cual es la operación correcta ya sea si vas a buscar la a,b,c pero debes igual dibujar bien los cuadrados y tomar en cuenta deque te esta hablando

factorizacion de diferencia de cuadrados

factorización diferencia DE cuadrados

Para saber si es una diferencia de cuadrados perfectos se debe de sacar la raíz a ambos términos y darnos cuenta si es exacta. Recordemos que cuando tenemos una fracción la raíz cuadrada del denominador dividido la raíz numerador entonces en la solución ponemos los términos así en el orden como están, o sea en fracciones, la que tiene el más adelante es el que va primero. La factorización simplemente va a consistir en abrir dos paréntesis, poner las raíces y poner los signos. Para sacarle raíz a un exponente simplemente se divide entre dos. Es importante saberse las raíces de números como trece, doce, pero solo como una sugerencia.


FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Diferencia de cuadrados y binomios conjugados

Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma

a2
 – b2


en donde a y b son números reales. Las siguientes expresiones son ejemplos
de diferencias de cuadrados:
1) 25 – a2
2) m2
 – n4

3) x2
 – 1

power point  <----sume

http://www.authorstream.com/Presentation/jmarquez-213638-factorizacion-education-ppt-powerpoint/  

power poin <--------sume




MI CONCLUSION =)
 

La factorización de diferencia de cuadrados es fácil solo es cuestión de distinguir cuando es una diferencia de cuadrados y ver los signos bien primero se saca la raíz del termino primero luego el segundo y lo pones  el resultado del primer termino en los dos paréntesis luego el resultado del segundo termino igual solo q uno va hacer negativo y otro positivo  cuando es una letra y quieres sacar la raíz debes sumar un numero dos veces aver si te da osea sacar la mitad del elevado para que saques su raíz

 

factorizacion de trinomio de segundo grado

 

Factorización de un trinomio de segundo grado

Dada una ecuación de seguno grado completa:

ax² + bx + c = 0

Se puede descomponer en factores como sigue:

a · (x - x₁) · (x - x₂) = 0

 

 

1. 

2. 

3. 

Este trinomio no se puede factorizar porque la ecuación no tiene raíces reales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

POWER POINT

 

http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa4/matematicas/factorizacion.pdf

 

 

 

conclusión

para factorizar un trinomio de segundo grado es necesario que primero saques la raíz del termino cuadrático luego buscar dos números que al multiplicarse te den el termino lineal y el termino independiente  l,igualmente llegara hacer que el haiga dos números con letras y tendras que sacar la raíz del termino cuadrático o no cuadrático y el resultado que te dio con ese resultado vas a dividir el termino lineal y el resultado que tede ese es el numero total del termino lineal y ya procedes a buscar los dos números que al sumarlos y multiplicarlos te den el termino lineal y el termino independiente deberas tener cuidado co los signos en la suma y la multiplicación es diferente como por ejemplo -5-1 es igual a=-6 y en la multiplicacio es igual A (-5) (-1) es igual a =5 si estos son los términos que te pidieron buscar debes de aprendert e la ley de los signos que son esencial para toda operación situcion etc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

factorizacion trimonio cuadrado perfecto

                               <3     factorización trimonio cuadrado perfecto




Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma

a
2
+2ab+b2


Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:

1.- Identificar los dos términos que son cuadrados perfectos obteniéndoles su
raíz cuadrada.
2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los
dos términos del punto anterior.

Si se tiene al trinomio
a
2
+2ab+b2

se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos
a
2
=a
b
2
=b
el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos
anteriores
2ab
Por lo tanto a
2
+2ab+b2
 es un trinomio cuadrado perfecto.

power point
http://www.slideshare.net/rexr/trinomio-cuadrado-perfecto




conclusión

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos
del trinomio.
Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica
elevada al cuadrado.

las dos raizes obtenidas deben multiplicarse por dos deben dar el resultado el termino no utilizadom osea el que no agarrastes nunca se puede sacar la raíz cuadrada de un termino q este negativamente

                                      <3FACTORIZANDO POR FACTOR COMUN<3



CASO DE FACTORIZACION

Aantes de iniciar con el tema de factorización es necesario definir uno de los conceptos que se utilizarán con mucha frecuencia.

Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.

Ejemplo 1: 2ax2-4ay+8a2x

Analicemos término por término:

El primer término podemos expresarlo como: 2axx
El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax

Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.

De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)

No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.

Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.

Ejemplo 2:Factorizar 2x+6y.

2x+6y podemos expresarlo como 2*x+2*3*y

En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio.

2x+6y=2(x+3y)

Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)
; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa.

Ejemplo 3:Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)

En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).

Factorización de un binomio cuadrado perfecto

Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.

Ejemplo 1:Factorizar a2-4ab+4b2

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab

Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.

Ejemplo 2:Factorizar 36x2-18xy4+4y8

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: 
Raíz cuadrada del tercer término: 

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x

Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.

Diferencia de cuadrados

Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo 1:Factorizar 1-a2

Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:

Raíz cuadrada del minuendo: 

Raíz cuadrada del sustraendo: 

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).

Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)

Ejemplo 2:Factorizar 16x2-25y4

Raíz cuadrada del minuendo: 

Raíz cuadrada del sustraendo: 

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).

Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)

como podrán ver estos ejemplos son de utilidad para poder entender la factorización en factor común

 
Factorizacion de expresiones algebraicaspower poinhttp://www.slideshare.net/anyway2323/factorizaciónconcque primero tienes que sacar el m.c.d y al sacar el m.c.d. deves de ver cual dividio a los tres al mismo tiempo si te salio mas de un divisor debes multiplicarlo para q asi solo tede un divisor e total una factorización por el FACTOR COMUN NOSE PUEDE HACER CUANDO tiene mas de una incógnita y cuando esto sucede solo se iguala te debe dar el mismo resultado que tienes originalmente sino teda checa bien tu m..c.d debes de comenzar primero con el #2 ya si solo tiene una incognita si se puede proseguir con la factorización común y debes de hacer la comprobación ha esta sele llama completa ala que solo se iguala sele llama sencilla hay que tener cuidado con los signos pues perjudican site llegas a confundir trata de grabarte esa ley que es muy esenciallusión

ESTADISTICA

La estadistica

la estadistica trata del rencuento,ordenacion y clasificacion,de los datos obtenidos por observaciones,para poder hacer compararciones y sacfar conclusionbes.

Un esrtuduio estadistico consta de la sig fase:

Recogida de datos

Organizacion y representacion de datos

Analisis de datos

Obteniendo conclusiones

Conceptos estadisticos

POBLACION:Es un conjunto de todos los elementos alos cuales sele somete a un estudio estadistico.

INDIVIDUO:o unidad estadistica es cada uno de los elementos que componene la poblacion.

MUESTRA:Es unh conjunto representativo de la poblacion de diferencia,el numero de individuos de una muestra es menor que la de la poblacion.

MUESTREO:Es la reunion de datosque se decea  a estudiar,obtenidos de una proporcion reducida y representativa de la poblacdion.

VALOR:Es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadistico.si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos:cara cruz.

DATO:Es cada uno de los valores que sea obtenido al realizar un estudio estadistico .si lanzamos una moneda al aire 5 veces  datos:cra,cara,crus,cara,cruz.

MAPA MENTAL

VIDEO

2 VIDEO

POWER PONI DE LA ESTADISTICA

POWER PINT DE LA ESTADISTICA

CONCLUSION

La estadística es el conjunto de diversos métodos matemáticos que tienen como objetivo obtener, presentar y analizar datos (ya sean números o cualidades), la poblacion ,  representa todo el conjunto de elementos que posee la información que vamos a analizar.

Por ejemplo: si vamos a analizar la estatura media de los españoles la población sería todos los ciudadanos españoles. La muestra, del total de la población se selecciona un grupo representativo que es el que vamos a estudiar.El indiviuo, cada elemento de la muestra. En este ejemplo cada ciudadano del grupo de 2.000 que hemos seleccionado.la variable estadistica, es la información que vamos a analizar. En nuestro ejemplo, la estatura media. Las variables pueden ser:

Cualitativas: características que no se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, sexo.

Cuantitativas: características que sí se pueden representar numéricamente. Por ejemplo, altura y edad.

La modalidad, son los valores que pueden tomar las variables, La media aritmetica, representa el valor medio que toman los datos de una observación estadística. Se calcula sumando todos los resultados y dividiendo la suma entre el número de registros.

nociones de probabilidad

las nociones de probabilidad sirva para verificar cuando ocurre un experimento aleatorio o determinista


EXPERIMENTO ALEATORIO

Si se considera que un experimento determinista es aquel en el que se obtiene el mismo resultado cada vez que se lleva a cabo, entonces un juego de dados no es un experimento de este tipo, pues se ignora cuáles serán los números que saldrán.

      Esto significa que el juego de dados es un experimento aleatorio pues se pueden obtener diferentes resultados y no se sabe cuál será el de la siguiente vuelta.

    Sin embargo, sí es posible analizar y resolver problemas relacionados con experimentos aleatorios, determinando todos los resultados posibles.

      En un experimento aleatorio, los resultados posibles son aquellos que pueden suceder cada vez que se repite el experimento.

      Ejemplos:

     Lanzamiento de un dado:

     Los resultados posibles son:  1, 2, 3, 4, 5 y 6.

    
    Lanzamiento de una moneda:

    Los resultados posibles son a y s.

     Lanzamiento de un dado y una moneda:

     Los resultados posibles son:

(1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a), (6, a)

(1, s), (2, s), (3, s), (4, s), (5, s), (6, s)

      En resumen:

     La probabilidad es el grado de certidumbre con que se mide la ocurrencia de cierto resultado.

     La probabilidad se mide con valores que van desde cero, para la imposibilidad de ocurrencia, hasta 1, cuando se tiene toda la seguridad de que se presentará cierto resultado.

    Cuando consideramos que en un evento todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrencia o no, hablamos de la probabilidad que se conoce como probabilidad clásica.

 PROBABILIDAD FRECUENCIAL

Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se calcula la siguiente expresión.

      Ejemplo:

      Después de jugar 30 partidas de dados, dos jugadores obtuvieron los siguientes resultados:

 

Partida 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Jugador 1	8	3	8	3	3	3	8	3	3	8	3	8	3	8	3
Jugador 2	2	6	2	6	2	6	6	2	2	6	2	6	6	6	2
Ganador	1	2	1	2	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1	1

Partida 2	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Jugador 1	8	3	3	3	8	3	3	3	3	8	3	3	3	3	8
Jugador 2	2	6	2	2	6	6	6	2	2	6	6	2	2	6	2
Ganador	1	2	1	1	1	2	2	1	1	1	2	1	1	2	1

       Los resultados que se observan en la tabla confirman que el juego de dados es un experimento aleatorio.

      Para concentrar la información, se puede utilizar una tabla como ésta:

     La tabla se completa aplicando la definición frecuencial de probabilidad, también llamada probabilidad frecuencial o probabilidad empírica.

    Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los resultados y se calcula con la expresión para obtener dicha probabilidad:

      Para el caso de la tabla, si P (A) = probabilidad frecuencial de que el jugador 1 gane el juego, entonces:

Número de veces que se obtiene el resultado que interesa = 21

Número de repeticiones del experimento = 30

     Siguiendo un proceso parecido se puede encontrar la probabilidad frecuencial P (B) de que el jugador 2 gane el juego:

     Así, es más probable que el jugador 1 gane, ya que:

     Entonces, el jugador 1 es el ganador.

Fórmula clásica de probabilidad

    En algunos experimentos aleatorios se pueden determinar todos los resultados posibles, de tal manera que tengan las mismas oportunidades de ocurrir. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, se considera que es simétrico y homogéneo, por lo que cada uno de los resultados posibles 1, 2, 3, 4, 5 y 6 tienen las mismas posibililidades de ocurrir. Entonces, cada uno de ellos tendrá la misma probabilidad.

      Si se desea la probabilidad de obtener menos de 3 puntos al lanzar el dado, primero se deben localizar de los resultados posibles aquellos en que se obtienen menos de 3 puntos.

      El evento A consta de los resultados posibles 1 y 2, por lo que:

     Los resultados posibles que favorecen que ocurra un evento A se llaman resultados favorables para A.

    Para obtener la probabilidad de un evento A en un experimento aleatorio se procede así:

1. Determinar el total de resultados posibles.
   
2. Establecer el número de resultados favorables al evento A.
3. .Usar la fórmula clásica de probabilidad.

presentacion power point

MI CONCLUSION

 nos es eficas para saber de un experimento cuando es requerido hay 2 experimentos uno determinista que antes de realizarlo ya sabemos el resultado otro aleatorio que no sabemos el resultado sin antes realizarlo